Функция от случайных величин

Определение: Под функцией j(х) случайной величины Х понимают такую случайную величину у, которая принимает значения у=j(х) каждый раз , когда величина Х принимает значение х.

1. Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина с возможными значениями х1, х2, х3, …..хn и вероятностями Р1, Р2, Р3…..Рn . Пусть для различных возможных значений xi, значения функции j(хi) также различны. Возможными значениями случайной величины случайной величины у будут значения функции j(хi) тогда и только тогда, когда величина Х примет значение хi, поэтому вероятности их равны, т.е.

Р(Y=j(хi))=P(X=xi)=Pi

Т.к. событие — величина X приняла значение xi влечет за собой событие-величина у приняла значение уi=j(хi) и обратно эти события равносильны и следовательно равновероятностные.

Пример 1.

Случайная величина задана распределением

x -2
Р 0,1 0,5 0,3 0,1

Найти закон распределения вероятностей величин х2, 3х, х2+1.

у=х2

x2
Р 0,1 0,5 0,3 0,1

у=3х

3x -6
Р 0,1 0,5 0,3 0,1

у=х2+1

x2+1
Р 0,1 0,5 0,3 0,1

Пример 2.

Дано распределение

x -2
Р 0,4 0,5 0,1

Найти распределение величины у=х2

x
Р 0,4 0,5 0,1

Событие х2=4 есть сумма 2-х событий х=-2 и х=2, поэтому по правилу сложения вероятностей

Р(х2=4)=0,4+0,5=0,9

Тогда пишут

У
Р 0,9 0,1

Пример 3. даны две независимые случайные величины х и у.

Х -1
Р 0,2 0,3 0,5
У
Р 0,1 0,3 0,6

Составить закон распределения величины z=(х×у)

N x y x×y P
-1
-1
-1

0,02
0,06
0,12
0,03
0,09
0,18
0,05
0,15
0,3
-1
-3

Р(z=0)=0,03+0,09+0,18+0,05+0,02+0,02+0,08+0,27=0,37

z -3 -1
Р 0,12 0,06 0,37 0,15 0,3

Т.к. случай z=0 – несовместимое событие, то по теореме сложения Р(0) складываем.

2) Пусть аргумент x непрерывная случайная величина. Как найти распределение функции у=j(х), зная плотность распределения f(x) аргумента x.

Рассмотрим монотонную функцию от одной случайной величины. Пусть в интервале возможных случайных значений х (a;b) функция строго возрастает, т.е. если х21 то у21 .

Пусть аргумент x непрерывная случайная величина. Как найти распределение y=j(x), зная плотность распределения f(x) случайного аргумента x. Рассмотрим монотонную функцию от одной случайной величены. Пусть в интервале возможных значений от а до b функция строго возрастает.

Кроме того , функция непрерывна вместе со своей 1-ой производной и имеет непрерывную дифференцируемую функцию, каждый внутренний интервал от x1 до х2 взаимно однозначно отображается на соответствующем интервале от у1 до у2 потому: Р(у1<у<у2)=Р(х12) вероятности попадания случайной величены х и у это есть двумерная величена.

-двумерная величина.

В этом интервале заменяем х на функцию g(y) обратную к функции y=j(x)

сравнивая с равенством (1) мы отмечаем, что подинтегральная функция – есть плотность распределения непрерывности случайной величены у.

в дифференцируемой форме .





Внимание, только СЕГОДНЯ!

Оставить комментарий

Ваш адрес эл.почты не будет опубликован, обязательные поля отмечены *